Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面A₁CD
（Ⅱ）若A₁D=$\sqrt{5}$，求直線A₁D與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點O，先利用中位線定理證明DO∥BC₁，再利用線面平行的判定定理證明結(jié)論即可．
（Ⅱ）推導出三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，以C為原點，CB為x軸，CC₁為y軸，過C作平面CBB₁C₁的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：連AC₁，設(shè)AC₁與A₁C相交于點O，連DO，則O為AC₁中點，
∵D為AB的中點，∴DO∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DO?平面A₁CD，∴BC₁∥平面A₁CD． 
（Ⅱ）：∵底面△ABC是邊長為2等邊三角形，D為AB的中點，
四邊形BCC₁B₁是正方形，且A₁D=$\sqrt{5}$，
∴CD⊥AB，CD=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，AD=1，
∴AD²+AA₁²=A₁D²，∴AA₁⊥AB，
∵${A}_{1}{C}^{2}=4+4=8$，∴${A}_{1}{D}^{2}+C{D}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$
∴CD⊥DA₁，又DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，∵BB₁?平面ABB₁A₁，∴BB₁⊥CD，
∵矩形BCC₁B₁，∴BB₁⊥BC，∵BC∩CD=C∴BB₁⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等邊三角形，∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．
以C為原點，CB為x軸，CC₁為y軸，過C作平面CBB₁C₁的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
B（2，0，0），A（1，0，$\sqrt{3}$），D（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），），A₁（1，2，$\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（\frac{1}{2}，-2，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
平面CBB₁C₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），設(shè)直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{10}$∴直線A₁D與平面CBB₁C₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．屬于中檔題