Question

18．如圖，在某商業(yè)區(qū)周邊有兩條公路l₁和l₂，在點O處交匯；該商業(yè)區(qū)為圓心角$\frac{π}{3}$、半徑3km的扇形．現(xiàn)規(guī)劃在該商業(yè)區(qū)外修建一條公路AB，與l₁，l₂分別交于A，B，要求AB與扇形弧相切，切點T不在l₁，l₂上．
（1）設(shè)OA=akm，OB=bkm試用a，b表示新建公路AB的長度，求出a，b滿足的關(guān)系式，并寫出a，b的范圍；
（2）設(shè)∠AOT=α，試用α表示新建公路AB的長度，并且確定A，B的位置，使得新建公路AB的長度最短．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求出AB的長，建立直角坐標(biāo)系，寫出直線AB的方程，
利用AB與扇形弧相切d=r，得出a、b的關(guān)系式，再寫出a、b的取值范圍；
（2）根據(jù)OT⊥AB，求出AT、BT的值，寫出AB的解析式，
利用三角函數(shù)與基本不等式求出它的最小值．

解答 解：（1）在△AOB中，OA=akm，OB=bkm，$∠AOB=\frac{π}{3}$；
由余弦定理得：
$A{B^2}=O{A^2}+O{B^2}-2OA•OBcos∠AOB={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$=a²+b²-ab；
所以$AB=\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}$；…（2分）
如圖，以O(shè)為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
則$A（a，0），B（\frac{1}{2}b，\frac{{\sqrt{3}}}{2}b）$，
所以直線AB的方程為$y=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}b}}{{\frac{1}{2}b-a}}（x-a）$，
即$\sqrt{3}bx+（2a-b）y-\sqrt{3}ab=0$；  …（4分）
因為AB與扇形弧相切，所以$\frac{{\sqrt{3}ab}}{{\sqrt{3{b^2}+{{（2a-b）}^2}}}}=3$，
即${a^2}+{b^2}=\frac{1}{12}{a^2}{b^2}+ab$；   a，b∈（3，6）…（6分）
（2）因為OT是圓O的切線，所以O(shè)T⊥AB．
在Rt△OTA中，AT=3tanα；
在Rt△OTB中，$BT=3tan（\frac{π}{3}-α）$；
所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（$\frac{π}{3}$-α）（0＜α＜$\frac{π}{3}$）；   …（9分）
所以，AB=3（tanα+$\frac{\sqrt{3}-tanα}{1+\sqrt{3}tanα}$）=$3\sqrt{3}\;\frac{{{{tan}^2}α+1}}{{1+\sqrt{3}tanα}}$；   …（12分）
設(shè)$1+\sqrt{3}tanα=u$，u∈（1，4），
則$AB=3\sqrt{3}\;\frac{{{{（\frac{u-1}{{\sqrt{3}}}）}^2}+1}}{u}=\sqrt{3}\;（u+\frac{4}{u}-2）≥\sqrt{3}•2=2\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)u=2，即$α=\frac{π}{6}$時取等號；
此時$OA=OB=2\sqrt{3}$km．
所以，當(dāng)$OA=OB=2\sqrt{3}$km時，新建公路AB的長度最短．        …（16分）

點評 本題考查了三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換以及求值問題，是綜合題．