Question

20．設(shè)變量x，y滿足不等式$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{2x+y+2≥0}\\{x≤0}\end{array}}\right.$，且目標(biāo)函數(shù)z=ax-by（a＞0，b＞0）的最小值為$-2\sqrt{3}$，則log₂a+log₂b的最大值為-2．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得3a+4b=2$\sqrt{3}$，利用基本不等式求出ab的最大值，則log₂a+log₂b的最大值可求．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≤0}\\{2x+y+2≥0}\\{x≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（-3，4）．
化目標(biāo)函數(shù)z=ax-by為y=$\frac{a}x-\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線y=$\frac{a}x-\frac{z}$過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-3a-4b=-2$\sqrt{3}$．
∴3a+4b=2$\sqrt{3}$．
則2$\sqrt{3}=3a+4b≥2\sqrt{12ab}=4\sqrt{3ab}$，∴ab$≤\frac{1}{4}$，當(dāng)且解得3a=4b時(shí)取“=”．
∴l(xiāng)og₂a+log₂b=$lo{g}_{2}ab≤lo{g}_{2}\frac{1}{4}=-2$
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．