Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，g（x）=2x-1．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的圖象上方，試求實(shí)數(shù)b 的取值范圍；
（2）若y=f（x）對(duì)任意的x∈R均有f（x-2）=f（-x）成立，且f（x）的圖象經(jīng)過(guò)  點(diǎn)A（1，$\frac{2}{3}$）．
①求函數(shù)y=f（x）的解析式；
②若對(duì)任意x＜-3，都有2k$\frac{f（x）}{x}$＜g（x）成立，試求實(shí)數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的圖象上方，則x²+bx＞2x-1，即x²+（b-2）x+1＞0恒成立，即△=（b-2）²-4＜0，解得實(shí)數(shù)b 的取值范圍；
（2）①若y=f（x）對(duì)任意的x∈R均有f（x-2）=f（-x）成立，且f（x）的圖象經(jīng)過(guò)  點(diǎn)A（1，$\frac{2}{3}$）．則$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}=-1\\ a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，解得：a，b的值，可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
②若對(duì)任意x＜-3，都有2k$\frac{f（x）}{x}$＜g（x）成立，則對(duì)任意x＜-3，都有k＞$\frac{18x-9}{4x+8}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{45}{4x+8}$成立，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的最小值．

解答 解：（1）a=1時(shí)，若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的圖象上方，
則x²+bx＞2x-1，即x²+（b-2）x+1＞0恒成立，
即△=（b-2）²-4＜0，
解得：b∈（0，4）；
（2）①若y=f（x）對(duì)任意的x∈R均有f（x-2）=f（-x）成立，且f（x）的圖象經(jīng)過(guò)  點(diǎn)A（1，$\frac{2}{3}$）．
則$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}=-1\\ a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{9}\\ b=\frac{4}{9}\end{array}\right.$，
∴y=f（x）=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x，
②若對(duì)任意x＜-3，都有2k$\frac{f（x）}{x}$＜g（x）成立，
則對(duì)任意x＜-3，都有2k（$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{9}$）＜2x-1成立，
則對(duì)任意x＜-3，都有k＞$\frac{18x-9}{4x+8}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{45}{4x+8}$成立，
由x＜-3時(shí)，$\frac{9}{2}$-$\frac{45}{4x+8}$∈（$\frac{9}{2}$，$\frac{63}{4}$），
∴k≥$\frac{63}{4}$，
故實(shí)數(shù)k的最小值為$\frac{63}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．