Question

1．橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一個焦點為F（1，0）且離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）若垂直于x軸的動直線與橢圓交于A，B兩點，直線l：x=3與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M，求證：點M恒在橢圓C上．

Answer 1

分析 （1）由題意可知焦點在x軸上，c=1，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則a=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2，即可求得橢圓的方程；
（2）若動直線AB經過點F，顯然成立，若動直線AB不經過點F，則直線AF方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），直線BN方程為：y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$（x-3），即可求得M坐標，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$，求得$\frac{1}{3}$（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）²=1，即可證明點M恒在橢圓C上．

解答 解：（1）由橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一個焦點為F（1，0）可知：焦點在x軸上，c=1，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=3-1=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）證明：若動直線AB經過點F，顯然成立，
若動直線AB不經過點F，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴則直線AF方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$（x-1），直線BN方程為：y=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$（x-3），
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}}\\{y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
∴$\frac{1}{3}$（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）²=$\frac{8{x}_{1}^{2}-24{x}_{1}+18+3{y}_{1}^{2}}{6（{x}_{1}-2）^{2}}$，
∴由A在橢圓上，則$\frac{{x}_{1}^{2}}{3}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1$，即3${y}_{1}^{2}$=6-2${x}_{1}^{2}$，
∴$\frac{1}{3}$（$\frac{2{x}_{1}-3}{{x}_{1}-2}$）²+$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）²=$\frac{8{x}_{1}^{2}-24{x}_{1}+18+6-2{x}_{1}^{2}}{6（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\frac{6（{x}_{1}-2）^{2}}{6（{x}_{1}-2）^{2}}$=1，
∴M點恒在橢圓C上．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線的斜率公式，直線的交點的求法，考查計算能力，屬于中檔題．