Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，M為PC的中點．
（Ⅰ）在棱PB上是否存在一點Q，使用A，Q，M，D四點共面？若存在，指出點Q的位置并證明；若不存在，請說明理由．
（Ⅱ）求點D到平面PAM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面．取棱PB的中點Q，連結(jié)QM，QA，由已知得QM∥BC，由此能證明A，Q，M，D四點共面．
（Ⅱ）點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，由已知得得PO為三棱錐P-ACD的體高，由V_D-PAC=V_P-ACD，能求出點D到平面PAM的距離．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)點Q為棱PB的中點時，A，Q，M，D四點共面，
證明如下：
取棱PB的中點Q，連結(jié)QM，QA，又M為PC的中點，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四點共面．
（Ⅱ）點D到平面PAM的距離即點D到平面PAC的距離，
取AD中點O，連結(jié)OP，OC，AC，可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO為三棱錐P-ACD的體高．
在Rt△POC中，PO=OC=$\sqrt{3}$，PC=$\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，PC=$\sqrt{6}$，邊PC上的高AM=$\sqrt{P{A}^{2}-P{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
所以△PAC的面積S_△PAC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)點D到平面PAC的距離為h，S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$
由V_D-PAC=V_P-ACD得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，解得h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
所以點D到平面PAM的距離為$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查四點共面的判斷與求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．