4.已知函數(shù)f(x)=log2(x2-2ax+3).
(1)若a=1,求f(x)的值域;
(2)若a=2,求函數(shù)f(x)的定義域及單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(4)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(5)若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(6)若函數(shù)f(x)在[-1,+∞)上有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出y=x2-2ax+3的值域,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出f(x)的值域;
(2)令x2-2ax+3>0解出f(x)的定義域,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出f(x)的單調(diào)性;
(3)令x2-2ax+3>0恒成立解出a的范圍;
(4)令y=x2-2ax+3得最小值≤0即可;
(5)根據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性得出y=x2-2ax+3在[2,+∞)上單調(diào)遞增,且x2-2ax+3>0在[2,+∞)上恒成立,列不等式組解出a的范圍;
(6)令x2-2ax+3>0在[-1,+∞)上恒成立,列不等式組解出a的范圍

解答 解:(1)a=1時(shí),f(x)=log2(x2-2x+3)=log2[(x-1)2+2],
∵(x-1)2+2≥2,∴f(x)≥log22=1,
∴f(x)的值域?yàn)閇1,+∞).
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=log2(x2-4x+3),
令x2-4x+3>0得x<1或x>3,
∴f(x)的定義域?yàn)椋?∞,1)∪(3,+∞).
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=x2-4x+3在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(3,+∞)單調(diào)遞增,
∴f(x)=log2(x2-4x+3)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(3,+∞)單調(diào)遞增.
(3)若f(x)的定義域?yàn)镽,則x2-2ax+3>0恒成立,
∴△=4a2-12<0,解得-$\sqrt{3}$<a<$\sqrt{3}$.
(4)設(shè)A為y=x2-2ax+3的值域,則A=[3-a2,+∞),
若f(x)的值域?yàn)镽,則(0,+∞)⊆A,∴3-a2≤0,解得a$≤-\sqrt{3}$或a$≥\sqrt{3}$.
(5)若函數(shù)f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
則y=x2-2ax+3在[2,+∞)上單調(diào)遞增,且x2-2ax+3>0在[2,+∞)上恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{7-4a>0}\end{array}\right.$,解得a<$\frac{7}{4}$,
(6)若函數(shù)f(x)在[-1,+∞)上有意義,則x2-2ax+3>0在[-1,+∞)上恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{4+2a>0}\end{array}\right.$,或△=4a2-12<0,或$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-12=0}\\{a<-1}\end{array}\right.$,解得-2<a≤-1或-$\sqrt{3}<a<\sqrt{3}$或a=-$\sqrt{3}$.
綜上,a的范圍是(-2,$\sqrt{3}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),符合函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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18.若函數(shù)f(x)=sin(ωx-$\frac{π}{6}$)(ω>0)的圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為$\frac{π}{2}$,則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(  )
A.(-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$)B.(-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{6}$)C.($\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$)D.($\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$)

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19.一家商場(chǎng)為了確定營(yíng)銷策略,進(jìn)行了投入促銷費(fèi)用x和商場(chǎng)實(shí)際銷售額y的試驗(yàn),得到如下四組數(shù)據(jù).
投入促銷費(fèi)用x(萬(wàn)元)2356
商場(chǎng)實(shí)際營(yíng)銷額y(萬(wàn)元)100200300400
(1)求出x,y之間的回歸直線方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$;
(2)若該商場(chǎng)計(jì)劃營(yíng)銷額不低于600萬(wàn)元,則至少要投入多少萬(wàn)元的促銷費(fèi)用?
(注:$b=\frac{{\sum _{i=1}^n({{x_i}-\bar x})({{y_i}-\bar y})}}{{\sum _{i=1}^n{{({{x_i}-\bar x})}^2}}}=\frac{{\sum _{i=1}^n{x_i}{y_i}-n•\bar x•\bar y}}{{\sum _{i=1}^nx_i^2-n•{{\bar x}^2}}},a=\bar y-b•\bar x$)

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16.已知遞增數(shù)列{an},a1=2,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足${a_n}^2+2=3({S_n}+{S_{n-1}})(n≥2)$.
(1)求a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列{bn}滿足${log_2}\frac{b_n}{a_n}=n$,求其前n項(xiàng)和Tn

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3.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=4,BC=AD=$\sqrt{5}$,E和F分別為AD與BC的中點(diǎn),對(duì)于常數(shù)λ,在梯形ABCD的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)P,使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(  )
A.(-$\frac{5}{4}$,-$\frac{9}{20}$)B.(-$\frac{5}{4}$,$\frac{11}{4}$)C.(-$\frac{1}{4}$,$\frac{11}{4}$)D.(-$\frac{9}{20}$,-$\frac{1}{4}$)

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9.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(2c-a)cosB=bcosA.
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16.設(shè)兩個(gè)非零向量$\vec a$與$\vec b$不共線.
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(2)若斜率為2的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),探究:在橢圓C上是否存在一點(diǎn)Q,使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$,若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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14.將參加夏令營(yíng)的100名學(xué)生編號(hào)為:001,002,…,100,采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為20的樣本,且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這100名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū),從001到015在第 I營(yíng)區(qū),從016到055住在第 II營(yíng)區(qū),從056到100在第 III營(yíng)區(qū),則第 II個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)應(yīng)為( 。
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