Question

3．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=4，BC=AD=$\sqrt{5}$，E和F分別為AD與BC的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)λ，在梯形ABCD的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)P，使得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{5}{4}$，-$\frac{9}{20}$）
• B． （-$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$）
• C． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{4}$）
• D． （-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)P的坐標(biāo)，根據(jù)建立坐標(biāo)系，設(shè)P的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=λ得到λ關(guān)于x的方程，根據(jù)P的位置分四種情況討論方程解得情況．

解答 解：以DC所在直線為x軸，DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系
則梯形的高為$\sqrt{5-1}$=2，∴A（-1，2），B（1，2），C（2，0），D（-2，0），∴E（-$\frac{3}{2}$，1），F(xiàn)（$\frac{3}{2}$，1）．
1）當(dāng)P在DC上時(shí)，設(shè)P（x，0）（-2≤x≤2），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，1），$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}$，1）．
于是$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+1=x²-$\frac{5}{4}$=λ，
∴當(dāng)λ=-$\frac{5}{4}$時(shí)，方程有一解，當(dāng)-$\frac{5}{4}$＜λ≤$\frac{11}{4}$時(shí)，λ有兩解；
（2）當(dāng)P在AB上時(shí)，設(shè)P（x，2）（-1≤x≤1），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，-1），$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}$，-1）．
∴$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+1=x²-$\frac{5}{4}$=λ，
∴當(dāng)λ=-$\frac{5}{4}$時(shí)，方程有一解，當(dāng)-$\frac{5}{4}$＜λ≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，λ有兩解；
（3）當(dāng)P在AD上時(shí)，直線AD方程為y=2x+4，
設(shè)P（x，2x+4）（-2＜x＜-1），則$\overrightarrow{PE}$=（-$\frac{3}{2}$-x，-2x-3），$\overrightarrow{PF}$=（$\frac{3}{2}$-x，-2x-3）．
于是$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=（-$\frac{3}{2}$-x）（$\frac{3}{2}$-x）+（-2x-3）²=5x²+12x+$\frac{27}{4}$=λ．
∴當(dāng)λ=-$\frac{9}{20}$或-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{9}{4}$時(shí)，方程有一解，當(dāng)-$\frac{9}{20}$＜λ＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，方程有兩解；
（4）當(dāng)P在CD上時(shí)，由對(duì)稱性可知當(dāng)λ=-$\frac{9}{20}$或-$\frac{1}{4}$＜λ＜$\frac{9}{4}$時(shí)，方程有一解，
當(dāng)-$\frac{9}{20}$＜λ＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，方程有兩解；
綜上，若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=λ成立，
則λ的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{4}$]∩（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{4}$]∩（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）∩（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）=（-$\frac{9}{20}$，-$\frac{1}{4}$）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．