Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且3S_n=4（a_n-1），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式求出首項，并得到當(dāng)n≥2時，3S_n-1=4（a_n-1-1），與原遞推式作差得：a_n=4a_n-1（n≥2）．得到數(shù)列{a_n}是以4為首項，以4為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n-2}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ（n≥2），兩式作差可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的前n項和求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由3S_n=4（a_n-1），取n=1，得3a₁=3S₁=4a₁-4，∴a₁=4；
當(dāng)n≥2時，3S_n-1=4（a_n-1-1），
兩式作差得：a_n=4a_n-1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以4為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=4×{4}^{n-1}={4}^{n}$；
（2）由a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$，
得a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=$\frac{20}{9}$+（$\frac{2n-2}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ（n≥2），
兩式作差可得a_nb_n=（$\frac{2n}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2${\;}^{2n+{2}^{\;}}$-（$\frac{2n-2}{3}$-$\frac{5}{9}$）×2²ⁿ=（2n-1）•2²ⁿ．
∴$_{n}=\frac{（2n-1）{2}^{2n}}{{4}^{n}}=2n-1$（n≥2）．
又由${a}_{1}_{1}=\frac{20}{9}+（\frac{2}{3}-\frac{5}{9}）×{2}^{4}$求得b₁=1，
∴b_n=2n-1．
∴b_n+1-b_n=2n+1-2n+1=2．
則數(shù)列{b_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$n×1+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列前n項和的求法，是中檔題．