Question

2．過(guò)點(diǎn)$A（\sqrt{3}，1）$的直線${l_1}：\sqrt{3}x+ay-2=0$與過(guò)點(diǎn)$B（\sqrt{3}，4）$的直線l₂交于點(diǎn)C，若△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，則l₂的方程是$\sqrt{3}$x+y-7=0．

Answer 1

分析 把點(diǎn)A代入直線l₁求出a的值，寫出l₁的方程，
由題意知l₁與l₂關(guān)于直線y=$\frac{5}{2}$對(duì)稱，
求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可寫出直線l₂的方程．

解答 解：過(guò)點(diǎn)$A（\sqrt{3}，1）$的直線${l_1}：\sqrt{3}x+ay-2=0$，
∴$\sqrt{3}$•$\sqrt{3}$+a-2=0，解得a=-1；
∴直線l₁的方程為$\sqrt{3}$x-y-2=0；
l₁與過(guò)點(diǎn)$B（\sqrt{3}，4）$的直線l₂交于點(diǎn)C，
且△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，
如圖所示；
則l₁與l₂關(guān)于直線y=$\frac{5}{2}$對(duì)稱，
∴點(diǎn)C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$）；
∴直線l₂的斜率為k=$\frac{\frac{5}{2}-4}{\frac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}$=-$\sqrt{3}$，
直線方程為y-4=-$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），
化為一般式：$\sqrt{3}x+y-7=0$．
故答案為：$\sqrt{3}$x+y-7=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，是基礎(chǔ)題．