對任意實數(shù)列，定義它的第項為,假設(shè)是首項是公比為的等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的前項和；
（2）若，，.
①求實數(shù)列的通項；
②證明：.
（1）；（2）①；②詳見解析.

試題分析：本題以新定義的模式考察了等比數(shù)列的通項公式和前n項和以及不等式的放縮法．（1）由是首項是公比為的等比數(shù)列，故實數(shù)列確定，即，再結(jié)合的定義，得，然后求和即可（需分類討論）；（2）由，.，可確定，利用累加法可求；和式可看作數(shù)列的前n項和，故先求其通項公式，得，因前n項和不易直接求出，故可考慮放縮法，首先看不等式右邊，可想到證明每項都小于，由，進而可證明右面不等式，再考慮不等式左邊，，因為，故，進而求和可證明．
試題解析：（1）令這里
是公比為的等比數(shù)列.
，
當時，，，.   2分
當時，是公比為，首項為的等比數(shù)列；.
.   4分
綜上.   6分
（2）①由題設(shè)，，
疊加可得（）.   8分
②
.   10分
又
，，
即，，
.   12分

即.   13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知等比數(shù)列各項都是正數(shù)，，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)求證：數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
(3)求證：不等式Sn＋1≤4Sn對任意n∈N*皆成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知首項為1的等比數(shù)列{an}是擺動數(shù)列, Sn是{an}的前n項和, 且, 則數(shù)列{}的前5項和為（ �。�
A．31B．C．D．11

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知數(shù)列滿足，，定義：使乘積為正整數(shù)的k叫做“簡易數(shù)”.則在[3,2013]內(nèi)所有“簡易數(shù)”的和為        .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè),則等于 (   )
                          

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

公比為2的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且則= (    )
A．4B．-4C．2D．-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

等比數(shù)列滿足：對任意，則公比           .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

等比數(shù)列{an}中，已知a2＝1，a5＝8，則公比      

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