Question

12．已知圓心在x軸上的圓C與直線l：4x+3y-6=0切于點$M（{\frac{3}{5}，\frac{6}{5}}）$．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知N（2，1），經(jīng)過原點，且斜率為正數(shù)的直線m與圓C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，若|PN|²+|QN|²=24，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+y²=r²，根據(jù)切線的性質(zhì)列方程組求出a，r即可得出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線m的方程y=kx，代入圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出P，Q的坐標(biāo)關(guān)系，利用距離公式和|PN|²+|QN|²=24列方程解出k．

解答 解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+y²=r²，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|4a-6|}{5}=r}\\{\frac{\frac{6}{5}}{\frac{3}{5}-a}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得a=-1，r=2，
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+1）²+y²=4．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx，（k＞0），
代入圓C的方程得（x+1）²+k²x²-4=0，即（1+k²）x²+2x-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2}{1+{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$，
∴|PN|²=（x₁-2）²+（y₁-1）²=x₁²+y₁²-4x₁-2y₁+5=3-2x₁-4x₁-2y₁+5=-6x₁-2y₁+8，
|QN|²=（x₂-2）²+（y₂-1）²=x₂²+y₂²-4x₂-2y₂+5=3-2x₂-4x₂-2y₂+5=-6x₂-2y₂+8，
∴|PN|²+|QN|²=-6（x₁+x₂）-2（y₁+y₂）+16=$\frac{12}{1+{k}^{2}}$+$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$+16=24，
解得k=1或k=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴直線m的方程為：y=x．

點評 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．