Question

17．已知函數(shù)f（x）=sin2x+sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）將f（x）的圖象沿x軸向左平移m（m＞0）個(gè)單位，所得函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對(duì)稱(chēng)，求m的最小值及m最小時(shí)g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=sin2x+sin（2x-\frac{π}{3}）$=sin2x+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）將f（x）的圖象沿x軸向左平移m（m＞0）個(gè)單位，所得函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）的圖象，
根據(jù)所得圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{8}$對(duì)稱(chēng)，可得$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，故m的最小值為$\frac{5π}{12}$．
此時(shí)，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
在$[0，\frac{π}{4}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，即g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$上的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和圖象的對(duì)稱(chēng)性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．