【題目】已知函數(shù)f(x)a(x1)lnx(aR),g(x)(1x)ex.

1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

2)若對任意給定的x0[1,1],在區(qū)間(0,e]上總存在兩個不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立,求a的取值范圍.

【答案】1)答案見解析;(2[,+∞)

【解析】

1)首先求出函數(shù)的導數(shù),分a≤0a>0兩種情況討論,然后根據(jù)導數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)首先利用導數(shù)求出g(x)的值域為[0,1],根據(jù)(1)可排除a≤00a的情況,由函數(shù)f(x)的單調(diào)性和圖象分析可知,a滿足以下條件時符合題意,結(jié)合構造函數(shù)求解不等式即可得到結(jié)果.

1f(x)a(x1)lnxx0,則f′(x)a

①當a≤0時,f′(x)0,函數(shù)f(x)(0,+∞)上為減函數(shù),

②當a>0時,令f′(x)0x,令f′(x)00x.

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,),單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞)

綜上所述,當a≤0時,函數(shù)f(x)(0,+∞)上為減函數(shù),

a>0時,f(x)(0,)上為減函數(shù),在(,+∞)為增函數(shù);

2)∵g(x)(1x)ex,∴g′(x)=﹣xex

x[1,0)時,g′(x)>0,當x(01]時,g′(x)<0,

g(0)1g(1)0,g(1),∴當x[11]時,g(x)的值域為[01],

由(1)可知,①當a≤0時,函數(shù)f(x)(0,e]上為減函數(shù),不滿足題意;

②當e,即0a時,函數(shù)f(x)(0e]上為減函數(shù),不滿足題意;

③當0e時,即a時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0)上為減函數(shù),在(e]上為增函數(shù),

x0,且x→0時,f(x)→+∞,函數(shù)f(x)的大概圖像如下圖,

故對任意給定的x0[11],在區(qū)間(0e]上總存在兩個不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立,

當且僅當a滿足以下條件,即*

h(a)1a+lna,a(+∞),則h′(a)=﹣1

a1時,h′(a)0,當a1時,h′(a)0

∴函數(shù)h(a)(,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù),故h(a)maxh(1)0,

從而(*)等價于,故a,故a的取值范圍為[+∞)

練習冊系列答案
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1)求,的值并估算出志愿者的平均年齡(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

2)這次大會志愿者主要通過現(xiàn)場報名和登錄大會官網(wǎng)報名,即現(xiàn)場和網(wǎng)絡兩種方式報名調(diào)查.100位志愿者的報名方式部分數(shù)據(jù)如下表所示,完善下面的表格,通過計算說明能

否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為選擇哪種報名方式與性別有關系”?

男性

女性

總計

現(xiàn)場報名

50

網(wǎng)絡報名

31

總計

50

參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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教師評分(滿分12分)

11

10

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