Question

18．已知橢圓C₁和拋物線C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，從兩條曲線上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)混合記錄于表中：

x	$-\sqrt{2}$	2	$\sqrt{6}$	9
y	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{2}$	-1	3

（1）求橢圓C₁和拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C₁右焦點(diǎn)F的直線l與此橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（4，0），設(shè)$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}，λ∈[{-2，-1}]$，求$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|$取最大值時，直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），據(jù)此驗(yàn)證（2，-$\sqrt{2}$）、（9，3）在拋物線上，易求C₂：y²=x，
設(shè)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$+=1，a＞b＞0，把點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{6}$，-1）代入方程，能夠求出C₁方程．
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量知識，結(jié)合配方法，即可求|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|取最大值時，直線l的斜率．

解答 解：（1）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），據(jù)此驗(yàn)證（2，-$\sqrt{2}$）、（9，3）在拋物線上，易求C₂：y²=x，
設(shè)C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$+=1，a＞b＞0，把點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），（$\sqrt{6}$，-1）代入方程得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{^{2}}=1}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{^{2}=4}\end{array}\right.$
∴C₁方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由題意容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0，由右焦點(diǎn)F（2，0），
故可設(shè)直線l的方程為x=ky+2，代入橢圓C₁方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
得（k²+2）y²+4ky-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)關(guān)系，
得y₁+y₂=-$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$①，y₁y₂=-$\frac{4}{{k}^{2}+2}$②，
 由$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}，λ∈[{-2，-1}]$，所以$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ且λ＜0，
所以將上式①的平方除以②，得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2=-\frac{4{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$．即$λ+\frac{1}{λ}=-\frac{4{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
由λ∈[-2，-1]，可得-$\frac{5}{2}≤λ+\frac{1}{λ}≤-2$，⇒$-\frac{1}{2}≤-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}≤0$，⇒0≤k²≤$\frac{2}{7}$．
∵$\overrightarrow{PA}$=（x₁-4，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-4，y₂），$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（x₁+x₂-8，y₁+y₂），
x₁+x₂-8=k（y₁+y₂）-4=-$\frac{2+8{K}^{2}}{2+{K}^{2}}$，
|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|²=（x₁+x₂-8）²+（y₁+y₂）²=$\frac{64{k}^{4}+48{k}^{2}+4}{（2+{k}^{2}）^{2}}$
令t=$\frac{1}{2+{k}^{2}}$，則${\overrightarrow{PA}}^{2}$=164t²-208t+64，
∵0≤k²≤$\frac{2}{7}$．∴$\frac{7}{16}≤t≤\frac{1}{2}$，則f（t）=164t²-208t+64的對稱軸為t=$\frac{26}{41}＞\frac{1}{2}$．
則f（t）在[$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]遞減，即有t=$\frac{7}{16}$，|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$|取得最大值，
此時k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，直線l的方程為x=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$y+2．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法、向量知識的運(yùn)用，韋達(dá)定理，及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于難題