Question

4．點P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線PF₁與以坐標(biāo)原點O為圓心，a為半徑的圓相切于點A，線段PF₁的垂直平分線恰好過點F₂，則$\frac{{S}_{△O{F}_{1}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$的值為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求得D和A的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得答案．

解答 解：由題意，線段PF₁的垂直平分線恰過點F₂，垂直為D，AD為△F₁F₂D的中位線，
則y_D=2y_A=$\frac{1}{2}$y_p，y_A=$\frac{1}{4}$y_p，
∴$\frac{{S}_{△O{F}_{1}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{\frac{1}{2}•c•{y}_{A}}{\frac{1}{2}•2c•{y}_{D}}$=$\frac{1}{8}$，
則$\frac{{S}_{△O{F}_{1}A}}{{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}}$=$\frac{1}{8}$，
故答案為：$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查三角形面積的計算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．