19.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}$=$\sqrt{3}$.
(1)求C;
(2)如圖,設半徑為R的圓O過A,B,C三點,點P位于劣弧$\widehat{AC}$上,∠PAB=θ,求四邊形APCB面積S(θ)的解析式及最大值.

分析 (1)由已知結(jié)合正弦定理可得sin2A=sin2B,再由角的范圍可得A+B=$\frac{π}{2}$,從而求得C;
(2)把三角形ABC的三邊用R表示,再由S(θ)=S△ABC+S△APC,代入三角形面積公式化簡,然后由θ∈($\frac{π}{6},\frac{π}{2}$)求得四邊形APCB面積S(θ)的最大值.

解答 解:(1)由$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{a}$,得$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinB}{sinA}$,∴sin2A=sin2B,
∵2A,2B∈(0,2π),∴2A=2B,或2A+2B=π,
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$,
∵$\frac{a}=\sqrt{3}$,∴A=B舍去,從而C=$\frac{π}{2}$;
(2)由條件得:c=2R,a=R,b=$\sqrt{3}$R,∠BAC=$\frac{π}{6}$,∠CAP=θ-$\frac{π}{6}$,θ∈($\frac{π}{6},\frac{π}{2}$),
S(θ)=S△ABC+S△APC=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\frac{1}{2}AC•AP•sin(θ-\frac{π}{6})$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}R•2Rcosθsin(θ-\frac{π}{6})$=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\sqrt{3}{R}^{2}cosθ(\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ)$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}(\sqrt{3}sin2θ-cos2θ-1)$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}sin(2θ-\frac{π}{6})$,θ∈($\frac{π}{6},\frac{π}{2}$),
∵$2θ-\frac{π}{6}$∈($\frac{π}{6},\frac{5π}{6}$),
∴當$θ=\frac{π}{3}$時,$S(θ)_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$.

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型,考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用,考查三角函數(shù)最值的求法,是中檔題.

練習冊系列答案
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(1)求n的值;
(2)利用頻率分布直方圖估計眾數(shù),中位數(shù)及平均數(shù)
(3)問卷調(diào)查完成后,學校從第3組和第4組學生中利用分層抽樣的方法抽取7名學生進行座談,了解各學科的作業(yè)布置情況,并從這7人中隨機抽取兩名學生聘為學情調(diào)查聯(lián)系人.求第3組中至少有1名學生被聘為學情調(diào)查聯(lián)系人的概率.

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