Question

20．在極坐標系中，已知曲線C：ρ=2cosθ，將曲線C上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到曲線C₁，又已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=tcos\frac{π}{3}\\ y=\sqrt{3}+tsin\frac{π}{3}\end{array}$（t是參數(shù)），且直線l與曲線C₁交于A，B兩點．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程，并說明它是什么曲線；
（2）設定點P（0，$\sqrt{3}$），求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化曲線C₁的方程為（x-1）²+y²=1，再由圖象變化吧的規(guī)律可得曲線C；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1中，得$\frac{13}{4}{t}^{2}+12t+8=0$，運用韋達定理，參數(shù)的幾何意義，即可求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$．

解答 解：（1）曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-2x=0即（x-1）²+y²=1．
∴曲線C₁的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴曲線C表示焦點坐標為（-$\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），長軸長為4的橢圓
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1中，得$\frac{13}{4}{t}^{2}+12t+8=0$．
設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，
∴t₁+t₂=-$\frac{48}{13}$，t₁t₂=$\frac{32}{13}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=|$\frac{{t}_{1}{+t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查直線的參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．