已知動點到的距離比它到軸的距離多一個單位．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點作曲線的切線，求切線的方程，并求出與曲線及軸所圍成圖形的面積．

（Ⅰ）（Ⅱ）切線的方程為：，所求的圖形的面積為

解析試題分析：（Ⅰ）設(shè)動點M的坐標為，
依題意得：動點M到點的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義知：M的軌跡C是以為焦點，直線為準線的拋物線，
其方程為：．　                                                           　……6分
（Ⅱ）∵曲線C的方程可寫成：，
注意到點在曲線C上，過點N的切線斜率為，
故所求的切線的方程為：即．                                   ……9分
由定積分的幾何意義，所求的圖形的面積
．                                    ……13分
考點：本小題注意考查拋物線標準方程的求解，導數(shù)的運算，切線的求解和定積分的計算.
點評：解決軌跡方程問題時，經(jīng)常先根據(jù)定義求出曲線類型再求解，因此圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義尤其重要，要熟練掌握，靈活應(yīng)用.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分10分）已知直線與圓的交點為A、B，
（1）求弦長AB；
（2）求過A、B兩點且面積最小的圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求拋物線的準線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分15分）
已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分10分）
已知一條曲線上的點到定點的距離是到定點距離的二倍，求這條曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知中心在坐標原點O，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經(jīng)過點M(2,1)
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線平行于，且與橢圓交于A、B兩個不同點.
（�。┤�為鈍角，求直線在軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點。
（1）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，，求點P的坐標；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A、B，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標原點，它的準線經(jīng)過雙曲線：的一個焦點且垂直于的兩個焦點所在的軸，若拋物線與雙曲線的一個交點是．
（1）求拋物線的方程及其焦點的坐標；
（2）求雙曲線的方程及其離心率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點（），
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線的方程.

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