Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，P分別為是C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，∠F₁PF₂的平分線交x軸于點(diǎn)M，當(dāng)P在軸上的射影為F₂時(shí)，M恰為OF₂中點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F₂引PF₂的垂線交直線l：x=2于點(diǎn)Q，試判斷直線PQ與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 方法一：（1）由丨F₁F₂丨=2c，則c²=a²-1，求得直線PF₁的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得a²c²=2，即可求得C的方程；
（2）求得$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$及$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，求得PQ的方程，代入橢圓方程，△=（2y₀）²-4y₀²=0，則除P以外，直線PQ與C無(wú)其它公共點(diǎn)．
方法二：丨F₁F₂丨=2c，則c²=a²-1，利用正弦定理及三角形的相似性，求得丨PF₁丨=3丨PF₂丨，由橢圓定義及勾股定理，即可求得2c²=a²，即可求得a和b，求得橢圓方程；
（2）求得$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$及$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，求得PQ的方程，代入橢圓方程，△=（2y₀）²-4y₀²=0，則除P以外，直線PQ與C無(wú)其它公共點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可知：丨F₁F₂丨=2c，則c²=a²-1，①
由函數(shù)的對(duì)稱性，設(shè)P在x軸上方，
則P在x軸上的射影為F₂，則P（c，$\frac{1}{a}$），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則直線PF₁的方程為x-2acy+c=0，
由丨OF₂丨=2丨OM丨，則丨OM丨=$\frac{c}{2}$，則M的坐標(biāo)為（$\frac{c}{2}$，0），
則點(diǎn)M到直線PF₁的距離d=$\frac{丨\frac{c}{2}+c丨}{\sqrt{1+4{a}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{3c}{2\sqrt{1+4{a}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{c}{2}$，整理得：a²c²=2，②
由①②可得：a²=2，c²=1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；

（2）除P以外，直線PQ與C無(wú)其他公共點(diǎn)，
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，則y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
則Q（2，y_Q），則$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（-1，-y_Q），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，則$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
則x₀-1+y₀y_Q=0，則y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴k_PQ=$\frac{\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}-{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=$\frac{（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
則直線PQ的方程y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），整理得：2y₀y-2y₀²=-2x₀x+x₀²，x₀x+2y₀y-2=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y-2=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（x₀²+2y₀²）y²-4y₀y+2（2-x₀²）=0，即y²-2y₀y+y₀²=0，
由△=（2y₀）²-4y₀²=0，
∴除P以外，直線PQ與C無(wú)其它公共點(diǎn)．
方法二：（1）由題意可知：丨F₁F₂丨=2c，則c²=a²-1，①
由函數(shù)的對(duì)稱性，設(shè)P在x軸上方，
由丨OF₂丨=2丨OM丨，則丨OM丨=$\frac{c}{2}$，則M的坐標(biāo)為（$\frac{c}{2}$，0），
則丨MF₁丨=$\frac{3c}{2}$，丨MF₂丨=$\frac{c}{2}$，
在△PMF₁中，由正弦定理可知：$\frac{丨M{F}_{1}丨}{sin∠MP{F}_{1}}$=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠PM{F}_{1}}$，
則△PMF₂中，由正弦定理可知：$\frac{丨M{F}_{2}丨}{sin∠MP{F}_{2}}$=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠PM{F}_{2}}$，
由∠PMF₁=180°-∠PMF₂，
則sin∠PMF₁=sin∠PMF₂，
又由∠MPF₁=∠MPF₂，則$\frac{丨M{F}_{1}丨}{丨M{F}_{2}丨}$=$\frac{丨M{F}_{1}丨}{丨M{F}_{2}丨}$，故丨PF₁丨=3丨PF₂丨，
由丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，則丨PF₁丨=$\frac{3}{2}$a，丨PF₂丨=$\frac{1}{2}a$，
由丨PF₁丨²=丨PF₂丨²+丨F₁F₂丨²，整理得：（$\frac{3}{2}$a）²=（$\frac{1}{2}a$）²+（2c）²，
整理得：2c²=a²，②
由①②可得：a²=2，c²=1，
則
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）除P以外，直線PQ與C無(wú)其他公共點(diǎn)，
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，則y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
則Q（2，y_Q），則$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（-1，-y_Q），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，則$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
則x₀-1+y₀y_Q=0，則y_Q=$\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
∴k_PQ=$\frac{\frac{1-{x}_{0}}{{y}_{0}}-{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=$\frac{（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）+（{x}_{0}-1）}{（{x}_{0}-2）{y}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$，
則直線PQ的方程y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀），整理得：2y₀y-2y₀²=-2x₀x+x₀²，x₀x+2y₀y-2=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+2{y}_{0}y-2=0}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（x₀²+2y₀²）y²-4y₀y+2（2-x₀²）=0，即y²-2y₀y+y₀²=0，
由△=（2y₀）²-4y₀²=0，
∴除P以外，直線PQ與C無(wú)其它公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，正弦定理及勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．