Question

19．已知函數f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a≤0）．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意的a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=0時，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，定義域為（0，+∞），求出f（x）的導函數．判斷導函數的符號，推出導函數的單調性，然后求解極值、
（Ⅱ）當a＜0時，$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$的定義域為（0，+∞），求出f（x）的導函數，由f′（x）=0得極值點，通過（1）當-2＜a＜0時，（2）當a=-2時，（3）當a＜-2時，分別求解函數的單調區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，定義域為（0，+∞），
f（x）的導函數${f^'}（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$．
當$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數；
當$x＞\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是增函數．
∴當$x=\frac{1}{2}$時，f（x）取得極小值為$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，無極大值．
（Ⅱ）當a＜0時，$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$的定義域為（0，+∞），f（x）的導函數為${f^'}（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x^2}$．
由f′（x）=0得${x_1}=\frac{1}{2}＞0$，${x_2}=-\frac{1}{a}＞0$，${x_1}-{x_2}=\frac{1}{2}-（-\frac{1}{a}）=\frac{a+2}{2a}$．
（1）當-2＜a＜0時，f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數，在$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上是增函數，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上是減函數；
（2）當a=-2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數；
（3）當a＜-2時，f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上是減函數，在$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上是增函數，
在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是減函數．
綜上所述，
當a＜-2時，f（x）在$（0，-\frac{1}{a}），（\frac{1}{2}，+∞）$上是減函數，在$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上是增函數；
當a=-2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數；
當-2＜a＜0時，f（x）在$（0，\frac{1}{2}），（-\frac{1}{a}，+∞）$上是減函數，在$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上是增函數．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（-∞，-2）時，f（x）在[1，3]上是減函數．
∴$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤f（1）-f（3）=\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$．
∵對于任意的x₁，x₂∈[1，3]，a∈（-∞，-2）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+ln3）a-2ln3，
∴$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3＜（m+ln3）a-2ln3$對任意a＜-2恒成立，
∴$m＜-4+\frac{2}{3a}$對任意a＜-2恒成立．
當a＜-2時，$-\frac{13}{3}＜-4+\frac{2}{3a}＜-4$，∴$m≤-\frac{13}{3}$．
∴實數m的取值范圍為$（-∞，-\frac{13}{3}]$．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的極值以及函數的單調性的判斷以及考查分類討論思想轉化思想的應用．