Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{x}$-2x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
則f（-x）=-$\frac{1}{x}$+2x=-（$\frac{1}{x}$-2x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₁-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2（x₁-x₂）=（x₂-x₁）•（2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₂-x₁＞0，2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．