Question

10．設(shè)函數(shù)$f（x）=（{x-1}）{e^{x-1}}+\frac{a}{2}{x^2}$．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a≥-e，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過(guò)討論a=0，a＞0，-e≤a＜0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，f′（x）=x（e^x-1+a），
（i）若a≥0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng) x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．                            
（ii）若a＜0，令f′（x）=0，得x=0或x=1+ln（-a），
①a=-$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)-$\frac{1}{e}$＜a＜0時(shí)，1+ln（-a）＜0，當(dāng)x＜1+ln（-a）或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)1+ln（-a）＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1+ln（-a）），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（1+ln（-a），0）單調(diào)遞減；
③當(dāng)a＜-$\frac{1}{e}$時(shí)，1+ln（-a）＞0，當(dāng)x＞1+ln（-a）或x＜0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1+ln（-a）時(shí)，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1+ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1+ln（-a））單調(diào)遞減；        
（2）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=1；                             
當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）得函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增，且f（0）=-$\frac{1}{e}$＜0，f（1）=$\frac{a}{2}$＞0，
取x₀＜-3且x₀＜1+lna，則f（x₀）＞（x₀-1）a+$\frac{a}{2}$${{x}_{0}}^{2}$=$\frac{a}{2}$[${{（x}_{0}+1）}^{2}$-3]＞0，所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)-$\frac{1}{e}$≤a＜0時(shí)，由（1）得函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且f（0）=-$\frac{1}{e}$＜0，f（2）=e+2a＞0，
而x＜0時(shí)，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)-e≤a＜-$\frac{1}{e}$時(shí)，由（1）得函數(shù)f（x）在（0，1+ln（-a））單調(diào)遞減，在（1+ln（-a），+∞）上單調(diào)遞增，
且f（1+ln（-a））＜f（0）=-$\frac{1}{e}$＜0，f（3）=2e²+$\frac{9}{2}$a≥2e²-$\frac{9}{2}$e＞0，
而x＜0時(shí)，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道綜合題．