Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-1），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，-$\frac{1}{2}$），函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow a-2$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知函數(shù)∴的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（A，\;\frac{1}{2}）$，b、a、c成等差數(shù)列，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的周期以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可．
（2）求出A，利用等差數(shù)列以及向量的數(shù)量積求出bc，通過三角形的面積以及余弦定理求解a即可．

解答 解：$f（x）=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow a-2$=$|\vec a{|^2}+\vec a•\vec b-2$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
（1）最小正周期：$T=\frac{2π}{2}=π$由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$；（6分）
（2）由$f（A）=sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$可得：$2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{6}+2kπ或\frac{5π}{6}+2kπ（k∈Z）$所以$A=\frac{π}{3}$，
又因?yàn)閎，a，c成等差數(shù)列，所以2a=b+c，（8分）
而，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}bc$=9，∴bc=18，$cosA=\frac{1}{2}=\frac{{{{（b+c）}^2}-{a^2}}}{2bc}-1=\frac{{4{a^2}-{a^2}}}{36}-1=\frac{a^2}{12}-1$，
∴$a=3\sqrt{2}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查向量以及數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合，考查數(shù)量積的求法，兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的解法，考查計(jì)算能力．