Question

12．如圖：在空間四邊形ABCD中，已知AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD且AB=BC=6，BD=8，E為AD中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角．

Answer 1

分析 由題意可知：AB⊥平面BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{7}$，3，3），$\overrightarrow{CD}$=（-2$\sqrt{7}$，6，0），則cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}}{丨\overrightarrow{BE}丨•丨\overrightarrow{CD}丨}$，即可求得異面直線BE與CD所成角．

解答 解：AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，則AB⊥平面BCD，
∴分別以BC的垂線，BC，BA三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
B（0，0，0），C（0，6，0），A（0，0，6），D（-2$\sqrt{7}$，6，0），E（-$\sqrt{7}$，3，3），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{7}$，3，3），$\overrightarrow{CD}$=（-2$\sqrt{7}$，6，0），
∴cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CD}}{丨\overrightarrow{BE}丨•丨\overrightarrow{CD}丨}$=$\frac{14}{5×2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{5}$；
異面直線BE與CD所成角arccos$\frac{\sqrt{7}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角，考查空間向量的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．