Question

7．函數(shù)$f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{6}）+1$（A＞0，ω＞0），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，可得T=π，即可求ω，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{6}）+1$（A＞0，ω＞0），
∵圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$，
得T=π，
又T=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=2
故得函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，則sin（2x-$\frac{π}{6}$）最大值為1．
∴函數(shù)f（x）取得最大值為3．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．