Question

2．如圖，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)為橢圓C的右焦點．A（-a，0），|AF|=3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M．直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E．求證：∠ODF=∠OEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：a=2c，a+c=3，求得a與c的值，則b²=a²-c²，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）解法一：設(shè)AP的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式求得M坐標(biāo)，求得直線OM的方程，分別取得D和E點坐標(biāo)，則EF⊥OM，DF⊥OE，在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF；
方法二：分別表示出M，D和E點坐標(biāo)，求得EF和OM的斜率，由k_OM•k_EF=-1，則EF⊥OM，討論證明DF⊥OE在，則Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，即可求得∠ODF=∠OEF．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c．橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，丨AF丨=a+c=3，
解得 a=2，c=1．
所以 b²=a²-c²=3，
所以橢圓C的方程是 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．[（4分）]
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 A（-2，0）．設(shè)AP的中點M（x₀，y₀），P（x₁，y₁）．
設(shè)直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），
將其代入橢圓方程，整理得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，[（6分）]
所以 $-2+{x_1}=\frac{{-16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$．[（7分）]
所以 ${x_0}=\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${y_0}=k（{x_0}+2）=\frac{6k}{{4{k^2}+3}}$，
即 $M（\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，\frac{6k}{{4{k^2}+3}}）$．[（8分）]
所以直線OM的斜率是 $\frac{{\frac{6k}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{-8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}}=-\frac{3}{4k}$，[（9分）]
所以直線OM的方程是 $y=-\frac{3}{4k}x$．令x=4，得$D（4，-\frac{3}{k}）$．[（10分）]
直線OE的方程是 y=kx．令x=4，得E（4，4k）．[（11分）]
由F（1，0），得直線EF的斜率是 $\frac{4k}{4-1}=\frac{4k}{3}$，所以EF⊥OM，記垂足為H；
因為直線DF的斜率是 $\frac{{-\frac{3}{k}}}{4-1}=-\frac{1}{k}$，所以DF⊥OE，記垂足為G．[（13分）]
在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，
所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]
解法二：由（Ⅰ）得 A（-2，0）．設(shè)P（x₁，y₁）（x₁≠±2），其中$3x_1^2+4y_1^2-12=0$．
因為AP的中點為M，所以 $M（\frac{{{x_1}-2}}{2}，\frac{y_1}{2}）$．[（6分）]
所以直線OM的斜率是 ${k_{OM}}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}$，[（7分）]
所以直線OM的方程是 $y=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}x$．令x=4，得$D（4，\frac{{4{y_1}}}{{{x_1}-2}}）$．[（8分）]
直線OE的方程是 $y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}x$．令x=4，得$E（4，\frac{{4{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$．[（9分）]
由F（1，0），得直線EF的斜率是 ${k_{EF}}=\frac{{4{y_1}}}{{3（{x_1}+2）}}$，[（10分）]
因為 ${k_{EF}}•{k_{OM}}=\frac{{4{y_1}}}{{3（{x_1}+2）}}•\frac{y_1}{{{x_1}-2}}=\frac{4y_1^2}{3（x_1^2-4）}=-1$，
所以EF⊥OM，記垂足為H；[（12分）]
同理可得 ${k_{DF}}•{k_{OE}}=\frac{{4{y_1}}}{{3（{x_1}-2）}}•\frac{y_1}{{{x_1}+2}}=\frac{4y_1^2}{3（x_1^2-4）}=-1$，
所以DF⊥OE，記垂足為G．[（13分）]
在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，
所以∠ODF=∠OEF．[（14分）]

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，中點坐標(biāo)公式，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．