9.已知函數(shù)f(x)=|x-a|(a>0).
(Ⅰ)求證:f(m)+f(n)>|m-n|;
(Ⅱ)解不等式f(x)+f(-x)>2.

分析 (Ⅰ)根據(jù)|a+b|≤|a|+|b|,可得|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|,即可證明:f(m)+f(n)>|m-n|;
(Ⅱ)分類討論,去掉絕對(duì)值符號(hào),即可解不等式f(x)+f(-x)>2.

解答 (Ⅰ)證明:f(m)+f(n)=|m-a|+|n-a|=|m-a|+|a-n|,
根據(jù)|a+b|≤|a|+|b|,∴|m-a|+|a-n|≥|m-a+a-n|=|m-n|
即f(m)+f(n)≥|m-n|;        …(5分)
(Ⅱ)解:由f(x)+f(-x)>2,即|x-a|+|x+a|≥2,
(。┤0<a≤1時(shí),
當(dāng)-a≤x≤a時(shí),不等式即a-x+x+a>2,即a>1,原不等式不成立
當(dāng)x>a時(shí),原不等式即x-a+x+a>2,x>1
當(dāng)x<-a時(shí),原不等式即a-x-x-a>2,解得x<-1
∴0<a≤1時(shí),原不等式解集為(-∞,-1)U(1,+∞);
(ⅱ)若a>1
當(dāng)-a≤x≤a時(shí),不等式即a-x+x+a>2,2a>2恒成立,原不等式,解得-a≤x≤a
當(dāng)x>a時(shí),原不等式即x-a+x+a>2,x>1與x>a取交集得x>a
當(dāng)x<-a時(shí),原不等式即a-x-x-a>2,解得x<-1與x<-a取交集得x<-a
∴a>1時(shí),原不等式解集.…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法,通過對(duì)x范圍的分析討論,去掉絕對(duì)值符號(hào),利用一次函數(shù)的單調(diào)性求最值是關(guān)鍵,考查運(yùn)算與推理證明的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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19.已知全集U={x∈N+|-2<x<9},M=(3,4,5),P={1,3,6},那么{2,7,8}是( 。
A.M∪PB.M∩PC.(∁UM)∪(∁P)D.(∁UM)∩(∁UP)

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20.下列函數(shù)在(0,+∞)上為減函數(shù)的是( 。
A.y=-|x-1|B.y=x2-2x+3C.y=ln(x+1)D.y=2${\;}^{-\frac{x}{2}}$

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17.在直角坐標(biāo)系中,如果不同兩點(diǎn)A(a,b),B(-a,-b)都在函數(shù)y=h(x)的圖象上,那么稱[A,B]為函數(shù)h(x)的一組“友好點(diǎn)”([A,B]與[B,A]看作一組).已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=$\sqrt{2}$f(x),且當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=sin$\frac{π}{2}$x.則函數(shù)g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{f(x),0<x≤8}\\{-\sqrt{-x},-8≤x<0}\end{array}\right.$的“友好點(diǎn)”的組數(shù)為(  )
A.4B.5C.6D.7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.若復(fù)數(shù)$\frac{1+xi}{x+i}$∈R,其中i是虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)x=±1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.如圖是一個(gè)三棱柱的正視圖和俯視圖,其俯視圖是面積為8$\sqrt{2}$的矩形,則該三棱柱的體積是( 。
A.8B.4$\sqrt{2}$C.16D.$\frac{16}{3}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.設(shè)曲線C1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y={t^2}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線${C_2}:ρsin(θ-\frac{π}{3})=1$
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C1與曲線C2相交于A、B,求弦AB的長(zhǎng).

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18.從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù),則這兩個(gè)數(shù)不相鄰的概率為( 。
A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知A,B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的公共頂點(diǎn),其中a>b>0,P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)(P,M都異于A,B),且滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ($\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$)(λ∈R),設(shè)直線AP,BP,AM,BM的斜率分別為k1,k2,k3,k4,若k1+k2=$\sqrt{3}$,則k3+k4=-$\sqrt{3}$.

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