Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，數(shù)列{b_n}中，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：兩式相減2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，采用“累乘法”即可求得數(shù)列{a_n}，b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ⁺¹；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，即可求得T_n．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由2S_n=（n+1）a_n，則2S_n-1=na_n-1，
兩式相減得：2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
由a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$•1=n，（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
∴a_n=n，（n∈N*）；
由b_n=2${\;}^{{a}_{n}+1}$=2ⁿ⁺¹．
∴{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2ⁿ⁺¹；
（Ⅱ）由（Ⅰ），$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$=$\frac{1}{n（lo{g}_{2}{2}^{n+1}）}$，
=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
由數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$．
數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•（lo{g}_{2}_{n}）}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和求法，考查“裂項(xiàng)法”，“累乘法”，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．