Question

3．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β=m，n?γ且（1）或（3），則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
（1）α∥γ，n?β； （2）m∥γ，n∥β；（3）n∥β，m?γ．可以填入的條件有（1）或（3）．

Answer 1

分析 可以在橫線處填入的條件是（1），即“若α∩β=m，n?γ，且α∥γ，n?β，則m∥n”為真命題．如圖2所示，由α∩β=m，可得m?β，可得β∩γ=n，已知α∥γ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得m∥n；
在橫線處填入的條件不能是（2）．如圖3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；則m∥n”為假命題．舉反例：假設(shè)α∩γ=l，由m∥γ，可得m∥l．若n∩l=P，則m與n必不平行，否則與n∩lP相矛盾；
可以在橫線處填入的條件是（3）．如圖1所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，則m∥n”為真命題．利用同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可得m∥n或m∩n=P，由反證法排除m∩n=P即可．

解答 解：可以在橫線處填入的條件是（1）．
即若α∩β=m，n?γ，且α∥γ，n?β，則m∥n”為真命題．
證明如下：如圖2所示，∵α∩β=m，∴m?β，
∵n?γ，n?β，∴β∩γ=n，
又α∥γ，∴m∥n；
在橫線處填入的條件不能是（2）．
如圖3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；則m∥n”為假命題．
證明：假設(shè)α∩γ=l，∵m∥γ，∴m∥l．
若n∩l=P，則m與n必不平行，否則與n∩lP相矛盾；
可以在橫線處填入的條件是 （3）．
即若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，則m∥n”為真命題．
如圖1所示，
證明如下：∵α∩β=m，n?γ，m?γ，∴m∥n或m∩n=P，
假設(shè)m∩n=P，則P∈n，P∈m，又α∩β=m，∴P∈β，
這與n∥β相矛盾，因此m∩n=P不成立，故m∥n．
故答案為：（1）或（3）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．