Question

2．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（2，0），過點Q（1，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)點P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k₁，k₂
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）探討k₁+k₂是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出k₁+k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知a=2c，a=2，則c=1，b²=a²-c²=3，
（Ⅱ）分類討論，當直線線AB的斜率存在時，代入橢圓方程，由韋達定理及直線斜率公式，即可求得的k₁+k₂值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（2，0），則a=2，c=1，
則b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）當直線AB的斜率不存在時，不妨設(shè)A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
則k₁=$\frac{3-\frac{3}{2}}{4-1}$=$\frac{1}{2}$，k₂=$\frac{3+\frac{3}{2}}{4-1}$=$\frac{3}{2}$，故k₁+k₂=2，
當直線AB的斜率存在時，設(shè)其為k，則直線AB：y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{k{x}_{1}-k-3}{{x}_{1}-4}$+$\frac{k{x}_{2}-k-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-（5k+3）（{x}_{1}+{x}_{2}）+8（k+3）}{{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+16}$，
=$\frac{2k×\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-（5k+3）×\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+8（k+3）}{\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-4×\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+16}$=$\frac{72（{k}^{2}+1）}{36（{k}^{2}+1）}$=2，
綜上可知：k₁+k₂為定值，定值為2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．