Question

8．如圖，AB是圓O切于點B，過A的直線交圓O于C、D兩點，已知AB=6，CD=5
（1）求$\frac{BC}{BD}$的值；
（2）若∠BAC=60°，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （1）證明△ABC∽△ADB，得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{DB}$，利用AB=6，CD=5，求出AC即可，求$\frac{BC}{BD}$的值；
（2）若∠BAC=60°，求出BC，DB，再求圓O的半徑．

解答 解：（1）∵AB是圓O切于點B，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{BC}{DB}$，
∵AB=6，CD=5，
∴36=AC（AC+5），
∴AC=4，
∴$\frac{BC}{DB}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∠BAC=60°，則BC=$\sqrt{16+36-2×4×6×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{7}$，
DB=$\sqrt{36+81-2×6×9×\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∴cos∠DCB=$\frac{25+28-63}{2×5×2\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
∴sin∠DCB=$\sqrt{\frac{27}{28}}$，
∴2R=$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{\frac{27}{28}}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查圓的半徑，考查余弦定理、正弦定理的運用，屬于中檔題．