Question

19．函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx（x∈R）的最大值是$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求最大值．

解答 解：函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx．
令sinx+cosx=t，
由于sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，
∴$-\sqrt{2}≤$t$≤\sqrt{2}$
則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
那么：函數(shù)y 轉(zhuǎn)化為g（t）=$\frac{1}{2}{t}^{2}+t-\frac{1}{2}$，（$-\sqrt{2}≤$t$≤\sqrt{2}$）
可知g（t）開口向上，對(duì)稱軸x=$-\frac{1}{4}$，
∴當(dāng)$-\sqrt{2}≤$t$≤-\frac{1}{4}$上時(shí)，函數(shù)g（t）是單調(diào)遞減．
∴當(dāng)$-\frac{1}{4}≤t≤\sqrt{2}$上時(shí)，函數(shù)g（t）是單調(diào)遞增．
∴g（$\sqrt{2}$）_max=$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)性質(zhì)及化解能力，轉(zhuǎn)化思想和換元法．利用了二次函數(shù)的性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題．