Question

14．在△ABC中（圖），$A=\frac{π}{3}，cosC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}，BC=\sqrt{7}，\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$．
（Ⅰ）求邊AC的長；
（Ⅱ）求sin∠CBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin∠ABC的值，進而利用正弦定理可求AC的值．
（Ⅱ）結(jié)合AC=3，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$，可求DC=1，在△BCD中，根據(jù)余弦定理可求BD，由正弦定理可求sin∠CBD的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）因為$cosC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，C∈（0，π），
所以：$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
所以：sin∠ABC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{2\sqrt{7}}}{7}+\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{21}}}{7}=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，…（3分）
由$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{BC}{sinA}$，得$AC=\frac{BC}{sinA}•sin∠ABC=3$．                  …（5分）
（Ⅱ）結(jié)合AC=3，$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DC}$知，DC=1．
在△BCD中，根據(jù)余弦定理BD²=DC²+BC²-2DC×BC•cosC=4，
于是BD=2．                                     …（8分）
由$\frac{DC}{sin∠CBD}=\frac{BD}{sinC}$，得$sin∠CBD=\frac{DC×sinC}{BD}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．           …（10分）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．