Question

4．已知拋物線C：y²=4x與點(diǎn)M（0，2），過(guò)C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，則k=8．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算（x₁，y₁-2）（x₂，y₂-2）=0，即可求得k的值．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），∴直線AB的方程為y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．x₁x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-4，
∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，（x₁，y₁-2）（x₂，y₂-2）=0，即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，解得：k=8．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．