Question

17．已知函數(shù)y=f（x），x∈R是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則在（-1，0）上與函數(shù)f（x）的單調(diào)性相同的是（　�。�

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． y=log₂|x|
• C． $y=\left\{{\begin{array}{l}{e^x}&{x≥0}\\{{e^{-x}}}&{x＜0}\end{array}}\right.$
• D． y=cos（2x）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析可得y=f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，據(jù)此依次分析選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性，即可得答案．

解答 解：根據(jù)圖象可以判斷出（0，1）單調(diào)遞增，又由函數(shù)y=f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，
則函數(shù)y=f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，
依次分析選項(xiàng)：
對于A、對于y=x+$\frac{1}{x}$，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y′＜0，則f（x）在（-1，0）是減函數(shù)，不符合題意，
對于B、當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y=log₂|x|=log₂（-x），令t=-x，則y=log₂t，t=-x在（-1，0）為減函數(shù)，而y=log₂t為增函數(shù)，則y=log₂|x|在（-1，0）是減函數(shù)，不符合題意，
對于C、當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y=e^-x=（$\frac{1}{e}$）^x，而0＜$\frac{1}{e}$＜1，則y=e^-x在（-1，0）為減函數(shù)，不符合題意，
對于D、y=cos（2x），當(dāng)-1＜x＜0，則有-2＜2x＜0，y=cos（2x）為增函數(shù)，符合題意；
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，涉及函數(shù)單調(diào)性的判定，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵