Question

16．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{a}{x}-（a+1）lnx，a∈$R．
（1）若f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的值．
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（x）≥0，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)f（x）的最小值，從而求出a的值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{{x^2}-（a+1）x+a}}{x^2}=\frac{（x-1）（x-a）}{x^2}（x＞0）$
又f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴?x＞0，f'（x）≥0，∴a=1
（2）由f'（x）=0得x=1或x=a，
（i）a≤1，
x∈[1，e]，f'（x）≥0∴f（x）在[1，e]↑
∴f_min（x）=f（1）=1-a=-2∴a=3（舍）
（ii）1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，
x∈（a，e），f'（x）＞0，
∴f（x）在[1，a]↓，（a，e]↑，
∴f_min（x）=f（a）=a-1-（a+1）lna=-2，
∴a=e（舍）
（iii）a≥e，x∈[1，e]，f'（x）≤0，
∴f（x）在[1，e]↓
∴${f_{min}}（x）=f（e）=e-\frac{a}{e}-（a+1）=-2∴a=e$，
綜上，a=e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．