Question

11．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（0＜b＜2）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF₂|+|BF₂|最大值為5，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b²代入|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于5列式求b的值，根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，
∵過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
則|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=8
∴|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此時|AB|=b²，則5=8-b²，
解得b=$\sqrt{3}$，
則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．