【題目】如圖所示,正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1,E、F分別是棱是AA′,CC′的中點,過直線EF的平面分別與棱BB′,DD′交于M,N,設BM=x,x∈[0,1],給出以下四種說法:
(1)平面MENF⊥平面BDD′B′;
(2)當且僅當x=時,四邊形MENF的面積最;
(3)四邊形MENF周長L=f(x),x∈[0,1]是單調函數;
(4)四棱錐C′﹣MENF的體積V=h(x)為常函數,以上說法中正確的為(。
A. (2)(3) B. (1)(3)(4) C. (1)(2)(4) D. (1)(2)
【答案】C
【解析】
(1)利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′;(2)四邊形MENF的對角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長度最小即可;(3)判斷周長的變化情況;(4)求出四棱錐的體積,進行判斷.
(1)連結BD,B′D′,則由正方體的性質可知,EF⊥平面BDD′B′,所以平面MENF⊥平面BDD′B′,所以正確;
(2)連結MN,因為EF⊥平面BDD′B′,所以EF⊥MN,四邊形MENF的對角線EF是固定的,所以要使面積最小,則只需MN的長度最小即可,此時當M為棱的中點時,即x時,此時MN長度最小,對應四邊形MENF的面積最小.所以正確;
(3)因為EF⊥MN,所以四邊形MENF是菱形.當x∈[0,]時,EM的長度由大變。x∈[,1]時,EM的長度由小變大.所以函數L=f(x)不單調.所以錯誤;
(4)連結C′E,C′M,C′N,則四棱錐則分割為兩個小三棱錐,它們以C′EF為底,以M,N分別為頂點的兩個小棱錐.因為三角形C′EF的面積是個常數.M,N到平面C'EF的距離是個常數,所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h(x)為常函數,所以正確.
故選:C.
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【題目】如圖所示,為平行四邊形ABCD所在平面外一點,M,N分別為AB,PC的中點,平面PAD平面PBC=.
(1)求證:BC∥;
(2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結論.
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【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn , a1=a.當n≥2時,Sn2=3n2an+Sn﹣12 , an≠0,n∈N* .
(1)求a的值;
(2)設數列{cn}的前n項和為Tn , 且cn=3n﹣1+a5 , 求使不等式4Tn>Sn成立的最小正整數n的值.
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【題目】已知點在橢圓上,直線與x,y軸分別交于A,B兩點,0為坐標原點,且△OAB 的面積的最小值為
(1)求橢圓的離心率;
(2) 設點C、D、F2分別為橢圓的上、下頂點以及右焦點,E 為線段OD 的中點,直線F2E 與橢圓 相交于M、N 兩點,若,求橢圓的方程.
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【題目】若向量 ,其中ω>0,記函數 ,若函數f(x)的圖象與直線y=m(m為常數)相切,并且切點的橫坐標依次成公差為π的等差數列.
(1)求f(x)的表達式及m的值;
(2)將函數y=f(x)的圖象向左平移 ,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,當 時,y=g(x)與y=cosα的交點橫坐標成等比數列,求鈍角α的值.
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【題目】已知函數為奇函數, 為常數.
(1)確定的值;
(2)求證: 是上的增函數;
(3)若對于區(qū)間上的每一個值,不等式恒成立,求實數的取值范圍.
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【題目】某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價,將該產品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數據:
單價x(元) | 8 | 8.2 | 8.4 | 8.6 | 8.8 | 9 |
銷量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)求回歸直線方程=bx+a,其中b=-20,a=-b
(2)預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該產品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產品的單價應定為多少元?(利潤=銷售收入—成本)
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【題目】根據市場調查,某型號的空氣凈化器有如下的統(tǒng)計規(guī)律,每生產該型號空氣凈化器(百臺),其總成本為(萬元),其中固定成本為12萬元,并且每生產1百臺的生產成本為10萬元(總成本=固定成本+生產成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產品銷售平衡(即生產的產品都能賣掉),根據上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:
(Ⅰ)求利潤函數的解析式(利潤=銷售收入-總成本);
(Ⅱ)假定你是工廠老板,你該如何決定該產品生產的數量?
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【題目】如圖,AB是圓O的直徑,弦CD⊥AB于點M,點E是CD延長線上一點,AB=10,CD=8,3ED=4OM,EF切圓O于F,BF交CD于點G.
(1)求證:EF=EG;
(2)求線段MG的長.
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