Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）根據(jù)條件列關(guān)于a,b,c方程組，解得a,b（2）先設(shè)直線方程（點(diǎn)斜式），與橢圓方程聯(lián)立解得B點(diǎn)坐標(biāo)，由AC與BC垂直，以及AC=BC解出C點(diǎn)縱坐標(biāo)，得關(guān)于k的二次方程，即得直線方程

試題解析：（1）由題意可得： ，即，

從而有，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．

（2）設(shè)直線的方程為，代入，

得，

因?yàn)?/span>為該方程的一個(gè)根，解得，

設(shè),由,得：，

即：

由,即，得，

即，

即，

所以或，

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，

當(dāng)時(shí)，代入得，解得，

此時(shí)直線的方程為.

綜上,直線的方程為，.