【題目】如圖,在三棱錐PABC中,都為等腰直角三角形,,,MAC的中點,且

(1)求二面角PABC的大。

(2)求直線PM與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1);(2).

【解析】

1)取線段ABBC的中點O,N,連接PO,ON,MN,PN,證出PABC二面角,在中利用余弦定理即可求解.

2)由(1)以軸,以軸,過作平面的垂線,以垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBC的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積即可求出線面角.

1

分別取線段AB,BC的中點O,N,連接PO,ON,MNPN,設(shè)AC2,則有

在等腰直角△PAB中,O是中點,

則有ABPO﹣﹣﹣①

在等腰直角△ABC中,點O,N分別是AB

BC的中點,則有ABON﹣﹣﹣②

由①②可知,AB⊥平面PON,

又∵MNAB,∴MN⊥平面PON,則有MNPN

AB2,則 MN1,

PMAC2,則有PN,又OPON1,

由三角形余弦定理可知,

∴∠PON,

即二面角PABC的大小為

2

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,過點PPDONNO延長線于點D,設(shè)ABAC2,則有

A(﹣1,0,0),C(﹣12,0),B1,00),M(﹣1,10),

由(1)可知,∠POD180°﹣∠PON60°,又∵OP1,∴

,

,

設(shè)平面PBC的一個法向量為,則有,

又∵,∴,

設(shè)直線PM與平面PBC所成角為θ,則有:

故直線PM與平面PBC所成角的正弦值為

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