Question

（12分）（1）設x、y、zR，且x＋y＋z＝1，求證x²＋y²＋z²≥；
（2）設二次函數(shù)f (x)＝ax²＋bx＋c（a＞0），方程f (x)－x＝0有兩個實根x₁，x_2，
且滿足：0＜x₁＜x₂＜，若x(0，x₁)。
求證：x＜f (x)＜x₁

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了均值不等式的運用以及二次函數(shù)中根與系數(shù)的關系的綜合運用。
（1）x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)²＝x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz
≤3(x²＋y²＋z²)
從而得證。
（2）令F(x)＝f(x)－x，x₁，x₂是f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)
∵0＜x＜x₁＜x₂＜    ∴x－x₁＜0，x－x₂＜0  a＞0
∴F(x)＞0  即x＜f (x)
x₁－f (x)＝x₁－[x＋F(x)]＝x₁－x－a(x－x₁)(x－x₂)＝(x₁－x)[1＋a(x－x₂)]
∵0＜x＜x₁＜x₂＜
∴x₁－x＞0  1＋a(x－x₂)＝1＋a x－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0    ∴f(x)＜x₁
綜上可知成立。
解：（1）∵x＋y＋z＝1，∴1＝(x＋y＋z)²＝x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz
≤3(x²＋y²＋z²)
∴x²＋y²＋z²≥
（2）令F(x)＝f(x)－x，x₁，x₂是f(x)－x＝0的根，
∴F(x)＝a(x－x₁)(x－x₂)
∵0＜x＜x₁＜x₂＜    ∴x－x₁＜0，x－x₂＜0  a＞0
∴F(x)＞0  即x＜f (x)
另一方面：x₁－f (x)＝x₁－[x＋F(x)]＝x₁－x－a(x－x₁)(x－x₂)＝(x₁－x)[1＋a(x－x₂)]
∵0＜x＜x₁＜x₂＜
∴x₁－x＞0  1＋a(x－x₂)＝1＋a x－ax₂＞1－ax₂＞0
∴x₁－f(x)＞0    ∴f(x)＜x₁
綜上可得：x＜f(x)＜x₁