Question

6．如圖，已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1 （a＞b＞0）經(jīng)過不同的三點(diǎn)A（$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），C（C在第三象限），線段BC的中點(diǎn)在直線OA上．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓Γ上的動點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B、C）且直線PB、
PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn)，問|OM|•|ON|是否為定值？
若是，求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將A，B代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得D點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線OA的方程，代入橢圓方程，即可求得m和n的值，即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）根據(jù)直線的斜率公式．求得y₁及y₂，由x₀²=$\frac{5}{2}$-4y₀²，代入即可求得y₁y₂，由|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y₁丨•$\sqrt{5}$丨y₂丨，即可求得|OM|•|ON|為定值 $\frac{25}{16}$．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)A，B在橢圓Γ上，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4{a}^{2}}+\frac{5}{16^{2}}=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{9}{16^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{5}{2}}\\{^{2}=\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，
∴橢圓Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{8}}=1$    …（4分）
設(shè)C（m，n），則BC的中點(diǎn)D（$\frac{2m-1}{4}$，$\frac{4n-3}{8}$），∵D在直線OA上
由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0，從而m=2n-1，①
又點(diǎn)C在橢圓Γ上，故2m²+8n²=5，②
由①②解得n=$\frac{3}{4}$（舍去）或n=-$\frac{1}{4}$，則m=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；  …（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），M（2y₁，y₁），N（2y₂，y₂），
∵P，B，M三點(diǎn)共線，∴$\frac{{y}_{1}+\frac{3}{4}}{2{y}_{1}+\frac{1}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{3}{4}}{{x}_{0}+\frac{1}{2}}$，y₁=$\frac{3{x}_{0}-2{y}_{0}}{4（2{y}_{0}-{x}_{0}+1）}$，
∵P，C，M三點(diǎn)共線，∴$\frac{{y}_{2}+\frac{1}{4}}{2{y}_{2}+\frac{3}{2}}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{4}}{{x}_{0}+\frac{3}{2}}$，y₂=$\frac{{x}_{0}-6{y}_{0}}{4（2{y}_{0}-{x}_{0}-1）}$，…（8分）
∵點(diǎn)P在橢圓Γ上，
∴2x₀²+8y₀²=5，x₀²=$\frac{5}{2}$-4y₀²，
∴y₁y₂=$\frac{（3{x}_{0}-2{y}_{0}）（{x}_{0}-6{y}_{0}）}{16[（2{y}_{0}-{x}_{0}）^{2}-1]}$=$\frac{3{x}_{0}^{2}-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16（4{y}_{0}^{2}+{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1）}$
=$\frac{3（\frac{5}{2}-4{y}_{0}^{2}）-20{x}_{0}{y}_{0}+12{y}_{0}^{2}}{16（\frac{5}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}-1）}$=$\frac{5（\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}）}{16（\frac{3}{2}-4{x}_{0}{y}_{0}）}$=$\frac{5}{16}$，…（10分）
∴|OM|•|ON|=$\sqrt{5}$丨y₁丨•$\sqrt{5}$丨y₂丨=5丨y₁y₂丨=$\frac{25}{16}$為定值．
∴|OM|•|ON|為定值 $\frac{25}{16}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．