Question

已知函數(shù)f(x)=

2，x＞0 0，x=0 -2，x＜0

，下列敘述
（1）f（x）是奇函數(shù)；
（2）y=xf（x）是奇函數(shù)；
（3）（x+1）f（x）-4＜0的解為-3＜x＜1
（4）xf（x+1）＜0的解為-1＜x＜1；其中正確的是

 

（填序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：由題中的函數(shù)解析式和奇函數(shù)的定義分別去判斷①的正誤；利用奇函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)判斷②的正誤；根據(jù)分段函數(shù)對x分三種情況，求解對應(yīng)的不等式得解集，最后再并在一起，判斷③④的正誤．

解答： 解：函數(shù)f(x)=

2，x＞0 0，x=0 -2，x＜0

，
對于（1），由題意知f（0）=0且函數(shù)的定義域是R，當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）=-2=-f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=-2=-f（x），故（1）正確；
對于（2），由（1）可知f（x）是奇函數(shù)，y=x也是奇函數(shù)，∴y=xf（x）是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故（2）不正確；
對于（3），當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0＜4，成立；當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）f（x）-4＜0不等式為x+1＜2解得0＜x＜1；
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式為-x-1＜2，解得-3＜x＜0；
綜上，不等式得解集是（-3，1），故（3）正確；
對于（4），當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1+1）=0＜0，不等式無解；
當(dāng)x＞-1時(shí)，x+1＞0，不等式xf（x+1）＜0化為2x＜0解得x＜0，不等式的解為：-1＜x＜0；
當(dāng)x＜-1時(shí)，不等式為-2x＜0，解得x＞0，不等式無解；
綜上，不等式得解集解集為{x|-1＜x＜0}，故（4）不正確；
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評：本題的考查是分段函數(shù)判斷奇偶性和求分段函數(shù)構(gòu)成的不等式的解集，需要根據(jù)分段函數(shù)的不同范圍對應(yīng)不同的解析式進(jìn)行對x分類進(jìn)行求解．