Question

已知平面α⊥平面β，平面α⊥平面γ，且β∩γ＝a，求證：a⊥α．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：如下圖：在α內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA⊥β于A，PB⊥γ于B， 　　則PA⊥a，PB⊥a，又PAα，PBα，PA∩PB＝P，∴a⊥α． 　　證法2：如下圖，在a上任取一點(diǎn)Q，作QC⊥α于C，∵β∩γ＝a，∴Q∈β， 　　又β⊥α，∴QCβ，同理可證QCγ，∴QC為β與γ的交線a，∴a⊥α． 　　證法3：如下圖，在a上取點(diǎn)R，在β內(nèi)作RD垂直于α、β的交線l于D， 　　∴RD⊥α，同法在γ內(nèi)，作RE垂直于α，交α與γ的交線m于E，則RE⊥α，過平面外一點(diǎn)，作這個(gè)平面的垂線是惟一的，∴RD、RE重合，則它既包含于β，又包含于γ， 　　∴a⊥α． 　　證法4：如下圖，在β、γ內(nèi)分別取M、N分別作α、β的交線l和α、γ的交線m的垂線c，d，則c⊥α，d⊥α，c∥d，c∥a，∴a⊥α． 　　點(diǎn)評(píng)：此題是線線，線面，面面垂直轉(zhuǎn)化典型題，多解題，對(duì)溝通知識(shí)和方法，開拓解題思路是有益的．

提示：

此題需要作出輔助線，可有多種證明方法．