Question

14．2017年4月1日，國(guó)家在河北省白洋淀以北的雄縣、容城、安新3縣設(shè)立雄安新區(qū)，這是繼深圳經(jīng)濟(jì)特區(qū)和上海浦東新區(qū)之后又一具有全國(guó)意義的新區(qū)，是千年大計(jì)、國(guó)家大事，多家央企為了配合國(guó)家戰(zhàn)略支持雄安新區(qū)建設(shè)，紛紛申請(qǐng)?jiān)谛聟^(qū)建立分公司，若規(guī)定每家央企只能在雄縣、容城、安新3個(gè)片區(qū)中的一個(gè)片區(qū)設(shè)立分公司，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)設(shè)立分公司都是等可能的，每家央企選擇哪個(gè)片區(qū)相互之間互不影響且必須在其中一個(gè)片區(qū)建立分公司，向雄安新區(qū)申請(qǐng)建立分公司的任意4家央企中：
（1）求恰有2家央企申請(qǐng)?jiān)凇靶劭h”片區(qū)建立分公司的概率；
（2）用X表示這4家央企中在“雄縣”片區(qū)建立分公司的個(gè)數(shù)，用Y表示在“容城”或“安新”片區(qū)建立分公司的個(gè)數(shù)，記ξ=|X-Y|，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）【方法1】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；
【方法2】利用古典概型的概率公式計(jì)算即可；
（2）由題意，X～B（4，$\frac{1}{3}$），根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）【方法1】每家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為$\frac{1}{3}$，
去另外兩個(gè)片區(qū)建立分公司的概率是$\frac{2}{3}$，
則這4家央企恰有2家央企申請(qǐng)?jiān)凇靶劭h”片區(qū)建立分公司的概率為
P=${C}_{4}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（1-\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{8}{27}$；
【方法2】所有可能的申請(qǐng)方式有3⁴=81種，
恰有2家央企申請(qǐng)?jiān)凇靶劭h”片區(qū)建立分公司的方式為${C}_{4}^{2}$×2²=24種，
從而恰有2家央企在“雄縣”片區(qū)建立分公司的概率為：
P=$\frac{{C}_{4}^{2}{×2}^{2}}{{3}^{4}}$=$\frac{8}{27}$；
（2）由題意，X～B（4，$\frac{1}{3}$），則
P（X=k）=${C}_{4}^{k}$•${（\frac{1}{3}）}^{k}$•${（1-\frac{1}{3}）}^{4-k}$，（其中k=0，1，2，3，4）；
則ξ的所有可能取值為0，2，4；
P（ξ=0）=P（X=2）=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=2）=P（X=1）+P（X=3）=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（X=0）+P（X=4）=$\frac{17}{81}$，
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{8}{28}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立事件的概率公式與離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．