Question

6．對于函數(shù)f（x），若在定義域內存在實數(shù)x₀，滿足f（-x₀）=-f（x₀），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”，已知f（x）=4^x-m2^x+1+m-3為定義R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[1-\sqrt{3}，+∞）$
• B． [-2，+∞）
• C． $[-2，2\sqrt{2}]$
• D． $[-2，1+\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根據“局部奇函數(shù)”，可知函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，結合指數(shù)函數(shù)的性質，利用換元法進行求解．

解答 解：根據“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m-3=-（4^x-m2^x+1+m-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m-8=0有解即可．
設t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等價為t²-2m?t+2m-8=0在t≥2時有解，
則g（t）=t²-2m?t+2m-8，其對稱軸為t=m，
①若m≥2，有△=4m²-4（2m-8）=4（m²-2m+8）≥0恒成立，
即m≥4時，滿足題意，
②若m＜4，要使t²-2m?t+2m-8=0在t≥2時有解，
令g（t）=t²-2m?t+2m-8，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{△≥0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$
解得-2≤m＜2，
綜上：m≥-2，即m的取值范圍是[2，+∞）；
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的新定義，利用函數(shù)的新定義得到方程有解的條件，利用換元法將方程轉化為一元二次方程有解的問題去解決是解決本題的關鍵．綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質．