Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓于A．B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），則E的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{10}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{19}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)的（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，兩式相減得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)的（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{0+\frac{\sqrt{5}}{5}}{3-1}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
又∵c²=a²-b²=10b²-b²=9b²，c²=9，
∴b²=1，a²=10，
即標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{10}+{y}^{2}$=1．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．