Question

11．已知$f（x）=xlnx，g（x）=\int_0^x{（3{t^2}+2at-1）dt}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）對(duì)一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論t的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2xlnx≤3x²+2ax+1，可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增；
（2）（�。�0＜t＜t+2＜$\frac{1}{e}$，t無(wú)解；
（ⅱ）0＜t＜$\frac{1}{e}$＜t+2，即0＜t＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（ⅲ）$\frac{1}{e}$≤t＜t+2，即t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）在[t，t+2]遞增，
f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$；
（3）由題意：2xlnx≤3x²+2ax-1+2在x∈（0，+∞）上恒成立，
即2xlnx≤3x²+2ax+1，可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，則h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴a≥-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．