Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=$\frac{2π}{3}$，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．
（1）求證：EF⊥平面BCF；
（2）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，設(shè)AD=CD=BC=1，由題意求得AB=2，再由余弦定理求得AC²=3，滿足AB²=AC²+BC²，得則BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由線面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．進(jìn)一步得到EF⊥平面BCF；
（2）分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（$0≤λ≤\sqrt{3}$），得到C，A，B，M的坐標(biāo)，求出平面MAB的一個法向量，由題意可得平面FCB的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當(dāng)λ=0時，cosθ有最小值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$，此時點(diǎn)M與點(diǎn)F重合．

解答 （1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，設(shè)AD=CD=BC=1，
又∵$∠BCD=\frac{2π}{3}$，∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3．
∴AB²=AC²+BC²．則BC⊥AC．
∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，
∴AC⊥平面BCF．
∵EF∥AC，
∴EF⊥平面BCF；
（2）解：分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（$0≤λ≤\sqrt{3}$），
則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y=0\\ λx-y+z=0\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-λ$），
∵$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）是平面FCB的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}}×1}=\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}+4}}$．
∵$0≤λ≤\sqrt{3}$，∴當(dāng)λ=0時，cosθ有最小值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時，平面MAB與平面FCB所成二面角最大，此時二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．